Sejarah dan Manfaat Kalkulus

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Matematika tidak hanya digunakan oleh orang-orang atau ilmuwan yang berkecimpung dalam dunia matematika saja melainkan hampir semua aspek mulai dari rumah tangga, seorang dokter, insyinyur elektronik, programmer, insinyur sipil, insinyur mesin, akuntan, manajer, ekonom maupun banyak ahli bidang lain.

Sejarah Kalkulus 

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristikyang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle”. Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusimenemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
LEIBNIZ

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya “The science of fluxions”.

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.

Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi infintesimal. Pada abad ke- 19, konsep infinitesimal digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari sudut pandang ini, Kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit - limit tertentu.

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Turunan

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

Notasi pendiferensialan

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.

Notasi Leibniz 

diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

Notasi Lagrange 

diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.

Notasi Newton

 juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka 

 mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

Notasi Euler

 menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

Integral

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya,diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah 

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada diatas sumbu-x bernilai positif dan area dibawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melaluiteorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Teorema dasar kalkulus 

menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) danpengintegralan (integration).

Bagian pertama dari teorema ini, kadanng disebut sebagai telorma dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.

Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengizinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.

Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.

Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.

Aplikasi

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.

Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total aliran (fluks) dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.

Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.

Matematika Dalam Dunia Pekerjaan

Dalam dunia pekerjaan matematika digunakan sudah hampir disemua aspek, mulai dari proses seleksi pegawai sampai dalam perhitungan materi pekerjaan di perusahaan atau instansi tertentu misalnya pembukuan, penjumlahan stock barang, inventaris barang, dll.

Dalam dunian rumah tangga matematika juga sangat dominan, dari pembukuan ibu rumah tangga untuk pengeluaran tertentu dan tak terduga di dalam suatu rumah tangga, untuk menghitungan bunga kredit jika memiliki cicilan, asuransi, dan untuk menghitung laba dari suatu usaha jika di dalam suatu rumah tangga memiliki usahanya sendiri, jadi matematika sangat amat penting dalam kehidupan kita dan selalu kita gunakan di kehidupan sehari-hari atau dalam dunia pekerjaan.

·         Kalkulus di bidang Kedokteran, Matematika berperan dalam menghitung volume kanker, dan koordinat-koordinatnya dengan penerapan kalkulus (bisa integral cakram, cincin, lipat2, bahkan lipat 3). karena umumnya sel kanker tidak mungkin berbentuk prisma, tabung, kerucut, atau limas yang mudah sekali dihitung volumenya.

·         Trigonometri pada teknik sipil, seorang insinyur menggunakan trigonometri untuk perhitungan sudut-sudut yang super akurat, dengan sistem kurva yang benar-benar yang tak dijumpai kesalahan.

·         Aplikasi matematika (peluang) pada Ilmu ekonomi dengan ilmu ini kita belajar menghitung peluang di berbagai kasus asuransi dan 

·        Aplikasi matematika (program linear) pada ilmu manajemen, pendekatan yang dilakukan dengan pendekatan permodelan matematika, analisis statistik dan teori optimasi matematis.

Kalkulus Dalam Bidang Pekerjaan

Animator

Animator adalah seorang pekerja seni yang pekerjaannya membuat gambar-gambar bergerak (animasi).  Seorang animator bisa bekerja dalam berbagai bidang seperti dalam film, televisi, video games, juga internet.

Seorang animator harus memiliki pemahaman yang cukup terhadap beberapa bidang matematika terapan. Hal ini memungkinkan untuk menemukan sesuatu yang tidak diketahui dari sebuah set persamaan sederhana, dan bekerja di luar aspek geometri ketika berurusan dengan benda-benda yang bergerak dan berubah.

Sebagai contoh, seorang animator menggunakan aljabar linear untuk menunjukkan cara bagaimana sebuah objek itu diputar dan digeser, dibesarkan dan dikecilkan, dan sebagainya. Pengetahuan matematika lainnya yang dibutuhkan adalah aljabar, trigonometri, kalkulus, dan geometri.

Arsitek

Arsitek adalah seseorang yang mendesain bangunan gedung, dan sebagainya, sehingga banguan itu bisa fungsional, aman, dan ekonomis. Arsiteklah yang menggambar rancangan, semua bagian-bagian gedung, termasuk pengaturan pipa-pipa dan sistem jaringan listrik. Mereka juga yang memilihkan material dari bangunan-bangunan itu.

Matematika digunakan oleh arsitek untuk mengekspresikan gambaran desain pada gambar cetak sehingga dapat digunakan oleh pekerja konstruksi untuk mewujudkannya dalam bentuk bangunan nyata. Matematika diperlukan oleh para arsitek untuk menganalis dan menghitung masalah struktural dalam rangka merancang sebuah solusi yang menjamin bahwa strukstur akan tetap berdiri dan stabil.

Tanpa matematika mustahil gambaran desain yang ingin dibuat oleh arsitek itu bisa direpresentasikan dalam bentuk gambaran cetak seperti itu.

Bidang matematika yang dibutuhkan diantaranya adalah aljabar, trigonometri, kalkulus, statistika dan probabilitas, juga program linear.

Astronot

Berikut adalah sebuah kutipan pernyataan seorang astronot NASA, Robert L. Stewart,

“It should be evident that each step in my career has rested on a firm foundation in mathematics. For me, the study of mathematics was the key that opened the doors to the universe.”

Astronot adalah seseorang yang dilatih dalam sebuah program penerbangan luar angkasa (spaceflight program) untuk menjadi awak pesawat luar angkasa. Para awak itu bertugas untuk mengatur dan menjalankan pesawat, termasuk melayani awak yang lain.

Ketika astronot terbang ke luar angkasa untuk melakukan misi, hal ini dimungkinkan karena perhitungan matematis yang tepat dan akurat. Dimulai dengan perhitungan bagaimana agar pesawat bisa meninggalkan atmosfer bumi, hingga bagaimana astronot mengendalikan pesawat.

Para desainer pesawat juga menggunakan matematika untuk  menghitung jarak, kecepatan, kekuatan, termasuk perhitungan untuk keselamatan para astronot sendiri ketika membuat ruang ‘faring’ pesawat. Matematika yang dibutuhkan oleh para astronot diantaranya aljabar, trigonometri, kalkulus, persamaan diferensial, dan aljabar linear.

Analis Forensik

Seorang analis forensik menggunakan teknik-teknik ilmiah untuk menyelidiki sebuah kasus kriminal. Mereka biasa menggunakan sidik jari yang dianalisa menggunakan bantuan komputer. Mereka juga menganalisa objek lain seperti darah, suara, juga analisa genetis sidik jari. Yang bersifat kimiawi, mereka juga biasa menganalisa racun, narkoba, dan sebagainya.

Seorang analis forensik melakukan analisa pola darah dalam rangka untuk menceritakan kisah atau kronologis kejahatan. Dapat diungkapkan, bahwa ternyata lokasi dimana darah ditemukan, dan bentuk struktur darah pada pendaratan di tempat kejadian, keduanya bisa mengungkapkan arah kemana darah bergerak dan seberapa besar kekuatan yang dibutuhkan untuk melukai korban.

Para analis forensik menggunakan matematika misalnya untuk mengetahui lokasi korban ketika darah ditumpahkan, dan bahkan jenis senjata atau dampak yang bisa mencederai korban. Kadang-kadang darah dari senjata (barang bukti) juga bisa digunakan untuk mengungkapkan mentalitas korban.

Bidang matematika yang dibutuhkan diantaranya adalah aljabar, trigonometri, geometri, kalkkulus, dan statistika.

Analis Riset Pasar

Seorang analis riset pasar bekerja mengumpulkan informasi apa yang orang-orang pikirkan tentang sebuah produk. Mereka menolong perusahaan untuk mengetahui jenis produk apa dan bagaimana yang diiginkan oleh pasar, dan berapa kisaran harga yang diinginkan. Mereka juga membantu proses pemasaran produk-produk itu.

Para analis riset pasar menggunakan matematika di setiap pekerjaannya. Misalnya digambarkan dalam berbagai aktivitas mereka berikut,

·         Menganalisa data statistika penjualan produk lama untuk prediksi penjualan produk di masa-masa mendatang

·         Mengumpulkan data para kompetitor, menganalisa harga, penjualan, juga metode distribusi dan pemasaran

Memikirkan metode dan prosedur pengumpulan data

Mengevaluasi produk dan membuat rekomendasi kepada perusahaan dan klien sehingga pengambilan keputusan bisa dibuat untuk hasil yang lebih baik

Kemampuan perhitungan kuantitatif sangat dibutuhkan oleh seorang analis riset pasar. Oleh sebab itu, kemampuan di bidang matematika, statistika, teori sampling, desain survey, dan ilmu komputer akan sangat membantu. Bidang matematika yang perlu dikuasai diantaranya aljabar, geometri, kalkulus, ekonometri, dan statistika.

Biologist

Biologist adalah ilmuwan yang mempelajari mengenai seluk beluk makhluk hidup dan menyelidiki hubungannya dengan lingkungan sekitar.

Para ahli biologi menggunakan matematika, misalnya ketika  mereka membuat plot grafik untuk sebuah kasus. Untuk membantunya memahami berbagai persamaan, menjalankan tes “trial and errors”-nya ketika sedang melakukan sebuah riset terhadap sebuah sampel untuk mengembangkan sebuah algoritma. Ahli biologi juga menggunakan berbagai perangkat lunak dimana matematika menjadi dasar pengoperasiannya.

Bidang matematika yang dibutuhkan oleh para ahli biologi diantaranya adalah aljabar, geometri, trigonometri, kalkulus, dan statistika.

Ekonom

Para ekonom adalah orang yang mempelajari kegiatan masyarakat dalam mendistribusikan berbagai sumber daya seperti tanah, tenaga kerja, bahan baku, mesin dan berbagai peralatan untuk memproduksi barang dan jasa.

Para ekonom dapat melakukan penelitian, mengumpulkan dan menganalisa data, memantau tren ekonomi, dan mengembangkan prakiraan. Mereka melakukan penelitian dalam berbagai bidang seperti biaya energi, inflasi, suku bunga, nilai tukar, pajak, tingkat pengangguran, dan sebagainya.

aktivitas-aktivitas matematis yang biasa dilakukan para ekonom dapat dilihat diantaranya pada kegiatan,

·         Menggunakan model-model matematika untuk lebih memahami isu-isu seperti sifat dan panjang siklus bisnis, dampak inflasi, atau efek kenaikan BBM pada kemiskinan dan pengangguran

·         Mengembangkan metode dan prosedur pengumpulan data

·         Menerapkan pengetahuannya untuk memberikan masukan kepada pemerintah atau pelaku bisnis dan organisasi

Geolog

Geolog (ahli geologi) adalah ilmuwan yang mempelajari tentang materi padat dan cair yang membentuk bumi dan bagian terluar planet.

Matematika menjadi salah satu ilmu yang sangat diperlukan dalam studi geologi. Matematika geologi dapat menjadi bantuan yang penting dalam merumuskan model dan teori-teori ilmiah untuk meneliti berbagai fenomena geologi yang berbeda. Bidang matematika yang dibutuhkan para geolog diaantaranya adalah aljabar, geometri, trigonometri, kalkulus, persamaan diferensial, aljabar linear, dan statistika.

Komputer Saintis

Komputer saintis bisa merupakan ahli teori komputer, peneliti atau penemu. Mereka menggunakan teori atau penemuannya untuk menyelesaikan permasalahan kompleks dengan menciptakan atau menerapkan teknologi baru.

Area ilmu komputer meliputi teori-teori kompleks dari desain hardware hingga desain bahasa pemmrograman. Beberapa peneliti di bidang ilmu komputer bekerja pada beberapa proyek seperti pengembangan dan memajukan penggunaan virtual reality, memperluas interaksi manusia-komputer, hingga mendesain robot.

Ilmuwan komputer menggunakan matematika mencakup berbagai materi topik algoritma teoritis (serangkaian langkah yang dipahami seseorang atau sesuatu dalam rangka menyelesaikan tugas dalam urutan langkah  tertentu), dan perhitungan sistem komputasi implementasi dalam perangkat lunak dan perangkat keras.

Bidang matematika yang dibutuhkan oleh seorang ilmuwan komputer diantaranya adalah aljabar, trigonometri, kalkulus, aljabar linear, persamaan diferensial, analisis teori, aljabar abstrak, teori graph, metode numerik, dan kombinatorik.

Matematikawan

Matematika merupakan ilmu tertua dan mendasar. Matematikawan melakukan kajian dan penelitian di bidang-bidang seperti logika, teori himpunan, aljabar abstrak, teori bilangan, teori permainan, statistika, dan sebagainya. Para matematikawan jelas merupakan orang yang kesehariannya bergelut seputar matematika.

Matematikawan menggunakan teori matematika, teknik komputasi, algoritma, dan teknologi komputer terbaru untuk mengatasi berbagai permasalahan di bidang ekonomi, ilmu pengetahuan, teknik, dan masalah bisnis. Ada dua jenis matematikawan, yaitu mereka yang bekerja dalam matematika teoretis dan mereka yang bekerja di matematika terapan.

Bidang matematika yang dibutuhkan diantaranya adalah aljabar, trigonometri, kalkulus, aljabar linear, persamaan diferensial, analisis real, aljabar abstrak, dan analisis kompleks.

Itulah beberapa bidang pekerjaan yang didalamnya ternyata kemampuan matematika mutlak diperlukan. Tentunya ada banyak bidang pekerjaan lainnya yang tidak terangkum dalam tulisan ini. Semoga Anda semua terinspirasi untuk tetap semangat belajar matematika apapun level dan bidang pekerjaan yang Anda harapkan.